统计百科 · 2026-06-24

效应量大比拼：Cohen's d、r、eta²、f²、OR 定义·换算·阈值完全指南

统计百科：五大效应量（Cohen's d / r / eta² / f² / OR）定义精讲、相互换算公式、Cohen 阈值对照表、APA 7th 报告句式，以及选哪个效应量的决策树——一篇搞定效应量综述段。

统计显著≠实际重要。APA 7th 要求所有推断统计都报告效应量，但 Cohen's d、r、eta²、f²、OR 五种效应量散落在不同方法章节，各自的阈值标准也不一样。本文一次性给出五大效应量的定义、适用场景、互相换算公式、Cohen 阈值对照表，并附可直接抄进论文的 APA 报告句式——让你的效应量综述段从"填个数字"变成真正看懂背后含义。

你的效应量报告有这些问题吗？

导师或审稿人的常见反馈：

"方差分析为什么报告了 Cohen's d？应该用 eta²"
"回归里的效应量是 f²，不是 f，值的含义不一样"
"logistic 回归的 OR 不是效应量，请说明 OR 的含义并加 95% CI"
"t 检验报告了 r，但 Cohen's d 才是该方法的标准效应量"
"效应量 d = 0.28，能不能说一下是大效应还是小效应？"

这些问题的根源是：不同统计方法使用不同效应量指标，每个指标的阈值也不同。本文给出完整的方法-效应量对应关系，不再混用。

一、为什么效应量比 p 值更重要

p 值只回答"能不能拒绝零假设"，而效应量回答"差异有多大、关系有多强"。样本量极大时，几乎任何微小差异都会显著（p < .001），但效应量可能极小（d = 0.04），实践价值为零。反过来，样本量不足时，真实的大效应可能因功效低而不显著，只看 p 值会漏掉重要发现。

APA Publication Manual（7th ed., 2020）第 3.5 节明确规定：

"It is almost always necessary to include some measure of effect size in the Results section."（几乎所有情况下，结果部分必须包含某种效应量指标。）

效应量的三大作用：

判断实践意义：统计显著不等于有意义，需要效应量证明差异够大
支持元分析：跨研究比较必须有共同效应量尺度
样本量计算：功效分析需要提前估计效应量

二、五大效应量逐一解析

1. Cohen's d — 均值差异的标准化度量

定义

$d = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma_{pooled}}$

其中 $\sigma_{pooled} = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$

含义：两组均值相差几个合并标准差
适用：独立样本 t 检验、配对样本 t 检验
范围：理论上无上限，可为负值（方向由比较顺序决定）
配对 t 检验版本：$d = \frac{\bar{d}}{s_d}$（差分均值除以差分标准差）

Cohen（1988）阈值

效应大小	d 值	直觉参考
小效应	0.20	两组分布重叠约 85%
中效应	0.50	两组分布重叠约 67%
大效应	0.80	两组分布重叠约 53%

注：Sawilowsky（2009）补充了"很小"（d = 0.01）、"很大"（d = 1.20）和"极大"（d = 2.0）三档，但 Cohen 三档仍是论文最常用的参照。

2. r — 相关系数作为效应量

定义

皮尔逊相关系数 r 本身就是效应量：

$r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2 \sum(y_i-\bar{y})^2}}$

在 t 检验中，r 也可作为二分变量与连续变量的相关效应量（点二列相关）：

$r = \sqrt{\frac{t^2}{t^2 + df}}$

含义：两变量线性关系的强度与方向；或两组差异占总变异的比例
适用：相关分析（直接用 r）、t 检验（用上式转换）、非参数检验（Spearman r）
范围：-1 至 +1

Cohen（1988）阈值

效应大小	r 值	r² 值（可解释方差比）
小效应	.10	.01
中效应	.30	.09
大效应	.50	.25

3. eta²（eta 平方）与 partial eta² — 方差分析效应量

定义

$\eta^2 = \frac{SS_{effect}}{SS_{total}}$

$\text{partial } \eta^2 = \frac{SS_{effect}}{SS_{effect} + SS_{error}}$

eta² 含义：该因素解释的方差占总方差的比例（单因素 ANOVA 专用）
partial eta² 含义：控制其他因素后，该因素解释的方差比例（双因素及以上 ANOVA 必用）
适用：单因素/多因素/重复测量 ANOVA、ANCOVA、MANOVA
范围：0 至 1（partial eta² 在多因素设计中各项加总可超过 1）

omega²（无偏估计）

$\omega^2 = \frac{SS_{between} - (k-1)MS_{within}}{SS_{total} + MS_{within}}$

omega² 是 eta² 的无偏估计，小样本时更准确，现代期刊越来越要求报告 omega²。

Cohen（1988）阈值（eta² 或 partial eta² 相同标准）

效应大小	eta² / partial eta²
小效应	.01
中效应	.06
大效应	.14

4. f²（Cohen's f²）— 回归与 ANOVA 的通用效应量

定义

回归场景（整体模型）：

$f^2 = \frac{R^2}{1 - R^2}$

回归场景（增量效应，第二阶段新增变量的贡献）：

$f^2_{change} = \frac{R^2_{full} - R^2_{reduced}}{1 - R^2_{full}}$

ANOVA 场景（由 eta² 转换）：

$f = \sqrt{\frac{\eta^2}{1 - \eta^2}}$

注意：f² = f 的平方，Cohen 定义的 f 和 f² 是两个符号，报告时须写清楚是哪一个。

含义：模型（或新增变量）解释方差与未解释方差的比值
适用：多元线性回归（整体或增量）、功效分析（G*Power 使用 f²）
范围：0 至正无穷

Cohen（1988）阈值

效应大小	f² 值	对应 R² 参考
小效应	0.02	R² ≈ .02
中效应	0.15	R² ≈ .13
大效应	0.35	R² ≈ .26

5. OR（Odds Ratio，比值比）— 二分结局的效应量

定义

$OR = \frac{p_1/(1-p_1)}{p_2/(1-p_2)} = \frac{n_{11} \cdot n_{22}}{n_{12} \cdot n_{21}}$

含义：暴露组发生某事件的比值（odds）是对照组的几倍
适用：logistic 回归、卡方独立性检验（2×2 表）、病例-对照研究
范围：0 至正无穷；OR = 1 表示无效应；OR > 1 为正向；OR < 1 为保护效应

OR 的阈值（Cohen，1988；转换自 d）

严格来说，OR 无通用阈值，Cohen 给出了从 d 换算的近似对照：

效应大小	OR 值（约）	对应 d
小效应	1.44	0.20
中效应	2.48	0.50
大效应	4.27	0.80

实践中 OR 的"显著性"通常以 95% CI 是否跨越 1 来判断，而非阈值比较。医学期刊常同时报告 OR 与相对风险 RR，教育/心理学期刊也常换算成 d 辅助解释。

三、五大效应量互相换算公式

以下公式允许在报告已有的一种效应量时换算成另一种，便于元分析整合或跨方法比较。

换算汇总表

从 \ 到	d	r	eta²	f²	OR
d	—	$r = \frac{d}{\sqrt{d^2+4}}$	$\eta^2 = \frac{d^2}{d^2+4}$（等组时）	$f^2 = \frac{d^2}{4}$（等组时）	$OR \approx e^{d \cdot \pi/\sqrt{3}}$
r	$d = \frac{2r}{\sqrt{1-r^2}}$	—	$\eta^2 = r^2$（仅二分组时）	$f^2 = \frac{r^2}{1-r^2}$	—
eta²	$d = 2\sqrt{\frac{\eta^2}{1-\eta^2}}$（等组）	$r = \sqrt{\eta^2}$（二分组）	—	$f^2 = \frac{\eta^2}{1-\eta^2}$	—
f²	$d = 2\sqrt{f^2}$（等组）	$r = \sqrt{\frac{f^2}{1+f^2}}$	$\eta^2 = \frac{f^2}{1+f^2}$	—	—
OR	$d \approx \frac{\ln(OR) \cdot \sqrt{3}}{\pi}$	—	—	—	—

关键换算公式详解

d ↔ r（t 检验与相关系数之间）：

$r = \frac{d}{\sqrt{d^2 + 4}} \qquad d = \frac{2r}{\sqrt{1-r^2}}$

例：d = 0.50 → r = 0.50 / √(0.25+4) = 0.50 / 2.062 = 0.243

eta² ↔ f²（ANOVA 与回归之间）：

$f^2 = \frac{\eta^2}{1-\eta^2} \qquad \eta^2 = \frac{f^2}{1+f^2}$

例：eta² = 0.06（中效应）→ f² = 0.06/0.94 = 0.064（对应 f² 中效应阈值 0.15 偏下方）

d ↔ OR（连续比较与二分结局之间）：

$OR \approx e^{d \cdot 1.8138} \qquad d \approx \frac{\ln(OR)}{1.8138}$

（1.8138 = π/√3，基于 logistic 分布假设）

例：d = 0.50 → OR ≈ e^(0.50×1.8138) = e^0.907 = 2.48（接近中效应 OR 阈值 2.47）

四、选哪个效应量：决策树

你的统计方法是什么？
│
├── t 检验（独立/配对）
│   └── 首选 Cohen's d，可附报 r
│
├── 相关分析（皮尔逊/斯皮尔曼）
│   └── 直接使用 r（或 rho）
│
├── 单因素 ANOVA
│   └── 首选 eta²（或 omega²），可附报 f
│
├── 双因素/多因素/重复测量 ANOVA、ANCOVA
│   └── 必须用 partial eta²（或 partial omega²），不能用 eta²
│
├── 多元线性回归
│   ├── 整体模型 → f²（由 R² 算）
│   └── 增量贡献 → f² change（ΔR² 算）
│
├── logistic 回归 / 2×2 卡方
│   └── OR（必须加 95% CI）；可附报换算的 d 辅助解读
│
└── 卡方拟合优度 / 列联表（非 2×2）
    └── Cramér's V（不在本文详述）

五、各效应量阈值速查对照表

效应大小	Cohen's d	r	eta²/partial eta²	f²	OR（约）
极小	< 0.10	< .05	< .005	< 0.01	< 1.22
小效应	0.20	.10	.01	0.02	1.44
中效应	0.50	.30	.06	0.15	2.48
大效应	0.80	.50	.14	0.35	4.27
极大	> 1.30	> .70	> .30	> 1.00	> 10

来源：Cohen（1988）；OR 阈值由 d 换算。"极小"和"极大"档来自 Sawilowsky（2009）。

六、APA 7th 报告句式：可直接抄进论文

Cohen's d（独立样本 t 检验）

实验组（M = XX.XX，SD = XX.XX）与对照组（M = XX.XX，SD = XX.XX）在[因变量]
上存在显著差异，t([df]) = X.XX，p [值]，Cohen's d = X.XX，为[小/中/大]效应
（Cohen，1988）。

实验组（M = 78.40，SD = 8.32）在考试成绩上显著高于对照组（M = 72.15，SD = 9.17），t(98) = 3.61，p < .001，Cohen's d = 0.72，为接近大效应（Cohen，1988）。

r（相关分析）

[变量A]与[变量B]呈显著[正/负]相关，r([df]) = [±].XX，p [值]，
表明[变量A]能解释[变量B] XX% 的方差变异，为[小/中/大]效应。

学习时间与期末成绩呈显著正相关，r(148) = .43，p < .001，两变量共享约 18.5% 的方差，为中效应（Cohen，1988）。

eta²/partial eta²（ANOVA）

单因素方差分析结果显示，[自变量]对[因变量]的主效应显著，
F([df1],[df2]) = X.XX，p [值]，eta² = .XX，为[大小]效应（Cohen，1988）。

双因素方差分析中，[因素A]的主效应显著，
F([df1],[df2]) = X.XX，p [值]，partial eta² = .XX，为[大小]效应。

教学方法对期末成绩的主效应显著，F(3, 196) = 23.78，p < .001，eta² = .267，为大效应（Cohen，1988），教学方法差异解释了学生成绩约 26.7% 的总体变异。

f²（多元线性回归）

整体回归模型显著，F([p],[N-p-1]) = X.XX，p [值]，R² = .XX，
adjusted R² = .XX，Cohen's f² = X.XX，为[小/中/大]效应（Cohen，1988）。

整体回归模型显著，F(4, 195) = 18.63，p < .001，R² = .277，adjusted R² = .262，Cohen's f² = 0.383，为大效应（Cohen，1988），模型解释了学业成绩约 26.2%（调整后）的方差。

OR（logistic 回归）

以[参照组]为基准，[暴露变量]显著预测[结局]发生的概率，
OR = X.XX（95% CI [下, 上]），p [值]，换算效应量 d ≈ X.XX。

以非干预组为参照，干预组学生学业合格的比值显著更高，OR = 3.28（95% CI [1.94, 5.54]），p < .001，换算 Cohen's d ≈ 0.67，接近中至大效应。

七、方法章节效应量综述段模板

方法章节需要提前说明将报告什么效应量，以下是各方法的标准描述：

t 检验：

效应量采用 Cohen's d 报告，参照 Cohen（1988）标准（0.20 = 小效应，0.50 = 中效应，
0.80 = 大效应）评估实际差异大小。

ANOVA（双因素及以上）：

效应量采用偏 eta 平方（partial eta²）报告，以反映各因素在控制其他变量后的独立贡献，
参照 Cohen（1988）标准（.01 = 小效应，.06 = 中效应，.14 = 大效应）。

多元回归：

整体模型效应量采用 Cohen's f²（由 R² 换算，f² = R²/(1–R²)）报告，
参照 Cohen（1988）标准（0.02 = 小效应，0.15 = 中效应，0.35 = 大效应）。

logistic 回归：

预测变量效应以比值比（OR）及 95% 置信区间表示；OR = 1 表示无效应，
CI 不包含 1 时效应显著。必要时换算 Cohen's d（d = ln(OR)/1.814）辅助解读效应大小。

八、在 ChatSRS 一句话获得规范效应量报告

打开 chatsrs.com，上传数据后输入：

"对实验组与对照组做独立样本 t 检验，同时输出 Cohen's d 和点二列相关 r，说明效应大小等级，并给出可直接抄进论文的 APA 7th 完整报告句式，包含 M、SD、t 值、自由度、p 值和效应量。"

或针对多元回归：

"跑多元线性回归，输出整体模型 F 检验和 Cohen's f²，分层回归中每步的 ΔR² 和 f² change，给出 APA 7th 结果段，注明各效应量大小等级（Cohen，1988）。"

ChatSRS 三引擎（SPSS 兼容 / R / Stata）均支持效应量自动计算与 APA 格式输出，无需手动套公式。

九、常见错误对照表

常见错误	正确做法	说明
方差分析报 Cohen's d	报 eta² 或 partial eta²	d 适用于两组均值比较，不适用 ANOVA
回归报 eta²	报 f²（由 R² 算）	eta² 是 ANOVA 效应量，不是回归效应量
多因素 ANOVA 报 eta²	必须报 partial eta²	多因素 eta² 加总超 1，逻辑错误
OR 不加 95% CI	OR = X.XX（95% CI [下, 上]）	OR 单独没有显著性，必须看 CI 是否跨 1
d = 0.28 不说明大小	补充"为小效应（Cohen，1988）"	效应量须说明等级
f² 和 f 混用	明确写 f² 或 f；f² = f 的平方	两个符号含义不同
不报效应量（p 不显著时）	显著与否均须报效应量	APA 7th 无例外
换算公式用错	核对 d→r 是否使用 $r=d/\sqrt{d^2+4}$	等组假设下才成立

常见 FAQ

Q：Cohen's d 和 Hedges' g 有什么区别，哪个更推荐？

A：两者计算非常接近，区别在于 Hedges' g 对合并标准差做了小样本偏差校正（乘以校正因子 J）。当每组样本量均超过 20 时，d 与 g 差距通常不足 0.02，可以互用。小样本（每组 n < 20）时，g 更准确，现代元分析和高要求期刊倾向于要求 g。ChatSRS 默认同时输出 d 和 g，建议根据目标期刊要求选用。详见 Cohen's d 与 Hedges' g 怎么选。

Q：eta² = .05 和 partial eta² = .05，哪个是中效应？

A：两者阈值相同（.06 为中效应），.05 均属于小至中效应之间。但含义不同：在单因素设计中两者相等；在多因素设计中，partial eta² 反映的是控制其他因素后的独立贡献，比 eta² 数值通常更大，因此报告 partial eta² = .05 时，实际效应可能比 eta² = .05 更大一些。报告中务必说明使用的是哪种。

Q：OR = 2.5 算大效应吗？

A：按 Cohen 换算（中效应 OR ≈ 2.47），OR = 2.5 接近中效应。但 OR 高度依赖基准概率——当基准概率很低（如 1%）时，OR = 2.5 意味着绝对风险从 1% 升到约 2.4%，实际增幅极小；当基准概率为 30% 时，OR = 2.5 意味着风险从 30% 升到约 52%，临床意义很大。因此 OR 的报告必须同时报告绝对风险或 95% CI，不能单靠数值大小判断效应。

Q：G*Power 做功效分析，输入的是 f² 还是 f？

A：GPower 的多元回归功效分析界面显示的是 f²（Cohen's f squared），直接填 f² 的值（小=0.02，中=0.15，大=0.35）。不要搞混：在 ANOVA 功效分析中，GPower 用的是 f（不是 f²），小=0.10，中=0.25，大=0.40——这是两个不同的输入字段，一定要对应正确的方法模块。

Q：已知 OR，怎么换算成 Cohen's d 写进论文？

A：使用公式 $d = \ln(OR) \times \sqrt{3} / \pi \approx \ln(OR) / 1.814$。例如 OR = 3.28：ln(3.28) = 1.187，d ≈ 1.187 / 1.814 ≈ 0.655，接近中至大效应。这个换算基于 logistic 分布假设，适合两组等比例时，作为辅助解读（并非严格等价替换），报告时建议注明换算方式。

快速参考：效应量换算速查卡

【d → r】    r = d / sqrt(d^2 + 4)
【r → d】    d = 2r / sqrt(1 - r^2)
【eta^2 → f^2】  f^2 = eta^2 / (1 - eta^2)
【f^2 → eta^2】  eta^2 = f^2 / (1 + f^2)
【R^2 → f^2】    f^2 = R^2 / (1 - R^2)
【d → OR】   OR = exp(d * 1.8138)
【OR → d】   d = ln(OR) / 1.8138

【Cohen 阈值速查】
         小      中      大
d       0.20   0.50   0.80
r       .10    .30    .50
eta^2   .01    .06    .14
f^2     0.02   0.15   0.35
OR      1.44   2.48   4.27

你的效应量报告有这些问题吗？

一、为什么效应量比 p 值更重要

二、五大效应量逐一解析

1. Cohen's d — 均值差异的标准化度量

2. r — 相关系数作为效应量

3. eta²（eta 平方）与 partial eta² — 方差分析效应量

4. f²（Cohen's f²）— 回归与 ANOVA 的通用效应量

5. OR（Odds Ratio，比值比）— 二分结局的效应量

三、五大效应量互相换算公式

换算汇总表

四、选哪个效应量：决策树

五、各效应量阈值速查对照表

六、APA 7th 报告句式：可直接抄进论文

Cohen's d（独立样本 t 检验）

r（相关分析）

eta²/partial eta²（ANOVA）

f²（多元线性回归）

OR（logistic 回归）

七、方法章节效应量综述段模板

八、在 ChatSRS 一句话获得规范效应量报告

九、常见错误对照表

常见 FAQ

快速参考：效应量换算速查卡

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